深度学习方法：受限玻尔兹曼机RBM（四）对比散度contrastive divergence

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上篇讲到，如果用Gibbs Sampling方法来训练rbm会非常慢，本篇中介绍一下对比散度contrastive divergence， CD算法。

我们希望得到$P(\textbf{v})$分布下的样本，而我们有训练样本，可以认为训练样本就是服从$P(\textbf{v})$的。因此，就不需要从随机的状态开始gibbs采样，而从训练样本开始。

CD算法大概思路是这样的，从样本集任意一个样本$\textbf{v}^0$开始，经过k次Gibbs采样（实际中k=1往往就足够了），即每一步是：

$$\begin{equation} \textbf{h}^{t-1} \sim P(\textbf{h} | \textbf{v}^{t-1})\\textbf{v}^{t} \sim P(\textbf{v} | \textbf{h}^{t-1})\\end{equation}$$

得到样本$\textbf{v}^{k}$，然后对应于上一篇三个单样本的梯度，用$\textbf{v}^{k}$去近似：

$$\begin{equation} \frac{\partial \ln P(\textbf{v})}{\partial w_{ij}} \approx P(h_i=1 | \textbf{v}^0)v_{j}^0 - P(h_i=1 | \textbf{v}^k)v_{j}^k\\frac{\partial \ln P(\textbf{v})}{\partial a_i} \approx = v_i^0 - v_i^k\\frac{\partial \ln P(\textbf{v})}{\partial b_i} \approx P(h_i=1 | \textbf{v}^0) - P(h_i=1 | \textbf{v}^k)\\end{equation}$$

上述近似的含义是说，用一个采样出来的样本来近似期望的计算。到这里，我们就可以计算$L_S$的梯度了，上面的CD-k算法是用于在一次梯度更新中计算梯度近似值的。下面给出CD-k的算法执行流程，这里小偷懒一下，就借用截图了[7]。

其中，$\text{sample_h_given_v}(\textbf{v},W,a,b)$，做的事情是这样的（$\text{sample_v_given_v}(\textbf{h},W,a,b)$类似）：
记$q_j = P(h_j | \textbf{v}), j=1,2,\ldots,n_h$，产生一个[0,1]的随机数$r_j$，对每一个$h_j$，如果$r_j < q_j$，则$h_j = 1$，否则$h_j = 0$。

OK， 有了CD-k算法，我们也可以总结RMB整个算法了[7]，

好，到这里基本讲完了，还有一些细节trick，是不在RBM本身范畴的，在实现的时候可以具体参考[2]。后面有时间再补一篇关于RBM代码的解读。

参考资料
[1] http://www.chawenti.com/articles/17243.html
[2] 张春霞，受限波尔兹曼机简介
[3] http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/27/2984725.html
[4] http://deeplearning.net/tutorial/rbm.html
[5] Asja Fischer, and Christian Igel，An Introduction to RBM
[6] G.Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines
[7] http://blog.csdn.net/itplus/article/details/19168937
[8] G.Hinton, Training products of experts by minimizing contrastive divergence, 2002.
[9] Bengio, Learning Deep Architectures for AI, 2009