偏应力张量不变量(上)
一点的应力状态可以使用应力张量
表示，上述应力分量将使弹性体任意一点发生变形。
实验证明，固体材料在各向相等正应力作用下，一般表现为弹性变形。由于材料的体积改变是由于各向相等的正应力引起的，因此可以认为，材料的非弹性变形主要是物体的形状变化时产生的。这一性质在塑性理论分析中经常应用。
在外力的作用下，物体的变形一般可以分解为体积改变和形状改变两部分
为进一步研究应力分量对于变形的影响，将应力张量分解为
其中，smδii为
上式中
为平均正应力。 smδii称为平均应力张量或称应力球张量。而sij等于
称为应力偏张量，简称应力偏量。
分解的物理意义为：应力球张量sm ii使微分单元体三个方向作用相同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变单元体体积，而不能改变单元体形状。而应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积，仅产生形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是十分重要的。
因为sm δij的任意方向均为应力主方向，所以应力偏张量sij与的应力主方向相同，而且其主应力仅相差一个平均应力。因此可用正应力特征方程计算。即
计算可得三个应力偏张量的不变量I‘1，I‘2，I‘3 ，有
在塑性力学中，经常使用的是应力偏张量的第二不变量I′2，若取应力主轴方向，则
由于第二应力偏张量不变量恒为负值，一般在应用时取为正值，则
实验证明，对于金属材料，应力球分量smδij引起的变形一般都是弹性变形，而材料屈服后的塑性变形基本上是畸变变形，因此应力偏张量sij在塑性力学的研究中起重要作用。
注：本文摘自西北工业大学《弹性力学》网络教程：http://netclass.csu.edu.cn/NCourse/hep062/
参考文献：
【1】中国知网：力学中的不变量；力学中的变换与不变量
【2】中国知网：偏应力张量第二及第三不变量在塑性加工中的作用
【3】中国知网：论应力偏量及应力张量第三不变量的物理意义及其在主应力空间中的几何意义