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斐波那契数列实例讲解以及C++实现

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368

特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。

兔子繁殖问题

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔对数	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔对数	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
总体对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

设月数为n；则有

F（0）=1；

F（1）=1；

F（n）=F(n-1)+F(n-2);

黄金分割

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…

看4

杨辉三角

将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

f⑴=C(0,0)=1。

f⑵=C(1,0)=1。

f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。

f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。

f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。

f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。

F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。

……

F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

质数质量

斐波那契数列的整除性与素数生成性

每3个连续的数中有且只有一个被2整除，

每4个连续的数中有且只有一个被3整除，

每5个连续的数中有且只有一个被5整除，

每6个连续的数中有且只有一个被8整除，

每7个连续的数中有且只有一个被13整除，

每8个连续的数中有且只有一个被21整除，

每9个连续的数中有且只有一个被34整除，

.......

我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

数字谜题

三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

影视作品中的斐波那契数列

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~在FOX热播美剧《Fringe》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。

排列组合

一、一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？

答案是144种。

利用标准斐波那契数列（0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144），答案为F（10+2）。一枚均匀的硬币掷n次，不连续出现正面的可能情形有F（n+2）种。

二、有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。这不是一个标准的斐波那契数列，初始化F（0）=0，F（1）=1，F（2）=2.

同leetcode上有一道题：

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

可用递归实现如下：

int stairs_climbing1(int n)
{
	if (n==0||n==1||n==2) return n;
	return stairs_climbing1(n-1)+stairs_climbing1(n-2);
}

但这种方法，每计算一次F（n）之前从F（0）到F（n-1）以及F（n-2）的过程都要重复执行一次，计算时间复杂度大，无法在规定时间内完成工作。改进算法，记录F（0）~F（n）的值，代码如下：

int stairs_climbing(int n)
{
	if (n==0||n==1||n==2) return n;
	vector<int >mem(n+1);
	mem[0]=0;
	mem[1]=1;
	mem[2]=2;
	int res;
	for (int i=3;i<n+1;i++)
	{
		mem[i]=mem[i-1]+mem[i-2];
	}
	return mem[n];
}

扩展

由上例可以看出，当初始值不一样时，F（n）=F(n-1)+F(n-2)就可能会有不一样的结果。

斐波那契—卢卡斯数列

卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。

佩尔数列

1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。

佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).

广义斐波那契数列

类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。

当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。

当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。

当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。

具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。

当f1=1，f2=2，p=2，q=0时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……

本文参考：
http://baike.baidu.com/link?url=uYAPJgZmzQDU8wuN0H4QjB1nBUqRPtNeNz5yAzDGpcUWhBqT6KNGvvC-9iroF6TxScwngt_jM4-6XGQDppiKEK