匈牙利算法、KM算法
PS：其实不用理解透增广路，交替路，网上有对代码的形象解释，看懂也能做题，下面我尽量把原理说清楚
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二分图： 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B
)，则称图G为一个二分图。
匹配： 一个匹配即一个包含若干条边的集合，且其中任意两条边没有公共端点。下图标红的边即为匹配
? 最大匹配： 匹配数最大，如下图有4条匹配边
? 完全匹配： 即所有的顶点都是匹配点，上图(Fig.4)即为完全匹配，不是所有的图都存在完全匹配
? 交替路： 从未匹配点出发，依次经过未匹配的边和已匹配的边，即为交替路，如Fig.3：3 -> 5 -> 1 -> 7 -> 4 -> 8
? 增广路（也称增广轨或交错轨）： 如果交替路经过除出发点外的另一个未匹配点，则这条交替路称为增广路，如交替路概念的例子，其途径点8，即为增广路
匈牙利算法
由增广路的定义推出下面三个结论（设P为一条增广路）：
1). P的路径长度一定为奇数，第一条边和最后一条边都是未匹配的边（根据要途经已匹配的边和要经过另一个未匹配点，这个结论可以理解成第一个点和最后一个点都是未匹配点，可以在Fig.3上的增广路观察到）
2). P经过取反操作可以得到一个更大的匹配图（取反操作即，未匹配的边变成匹配的边，匹配的边变成未匹配的边，这个结论根据结论1).和交替路概念可得该结论）
3). 当且仅当不存在关于图M的增广路径，则图M为最大匹配
算法思路：不停找增广路，并增加匹配的个数
代码过程模拟（图片来源）
这里就解释第三幅图到第四幅图的过程，注意这里的过程就是找增广路。图三开始，男3可以匹配女1，（男3 -> 女1)，发现女1已经跟男1匹配（男3 -> 女1 -> 男1），看到男1可以跟女2匹配（注意从开始到现在的是未匹配边，匹配边，未匹配边）这样走下去，路径是男3 -> 女1 -> 男1 -> 女2 -> 男2 -> 女3，此时是以未匹配边结束且找不到匹配边了。
求最大匹配的模板
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
int x, y, mp[MAXN][MAXN];
int mx[MAXN], my[MAXN];//x 跟哪个 y 匹配s
int vis[MAXN];//一条增广路中哪些 y 点被访问过
int dfs(int a)
{
for(int i = 1;i <= n;++i)
{
//先找出与 a 点有联系且没被访问过的 y 点
if(!vis[i] && mp[a][i])
{
vis[i] = 1;
//然后从就是 x -> i -> my[i] 构造这条增广路，接着就是 dfs(my[i])，重复以上操作
//根据增广路的结论，如果存在增广路，那么最后 my[i] == 0，即为未匹配点
//然后将其赋新值，根据 DFS 递归各层，该赋值即为增广路中进行取反操作，未匹配边变为匹配边
//至于匹配边变为未匹配边，my[i] 被赋新值
//若不存在增广路，那么就没进行赋值，即不取反
if(!my[i] || dfs(my[i]))
{
my[i] = a;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int solve()
{
int ret = 0;
fill(mx, mx + MAXN, 0);
fill(my, my + MAXN, 0);
//刚开始的 x 都是未匹配点
//vis 每次清零，vis 就是增广路中的 y 点
for(int i = 1;i <= x;++i)
{
fill(vis, vis + MAXN, 0);
ret += dfs(i);
}
return ret;
}
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 505;//这题数组要开大
int x, y, mp[MAXN][MAXN];
int mx[MAXN], my[MAXN];//x 跟哪个 y 匹配s
int vis[MAXN];//一条增广路中哪些 y 点被访问过
int dfs(int a)
{
for(int i = 1;i <= y;++i)
{
if(!vis[i] && mp[a][i])
{
vis[i] = 1;
if(!my[i] || dfs(my[i]))
{
my[i] = a;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int solve()
{
int ret = 0;
memset(mx, 0, sizeof(mx));
memset(my, 0, sizeof(my));
for(int i = 1;i <= x;++i)
{
fill(vis, vis + MAXN, 0);
ret += dfs(i);
}
return ret;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n--)
{
cin >> x >> y;
memset(mp, 0, sizeof(mp));
int num, t;
for(int i = 1;i <= x;++i)
{
cin >> num;
while(num--)
{
cin >> t;
mp[i][t] = 1;
}
}
if(solve() == x)
cout << "YES" << endl;
else
cout << "NO" << endl;
}
return 0;
}时间复杂度：邻接矩阵最坏O(n ^ 3), 邻接表O(nm)
空间复杂度：邻接矩阵O(n ^ 2), 邻接表O(n + m)
扩展：匈牙利算法也可以看成DFS过程，参考
KM算法
该算法是求带权二分图的最大权匹配
此篇易懂，新概念少,没代码，概念看不懂的，建议先看左边易懂那篇再来，这个是代码篇
顶标：设顶点 Xi 的顶标为 A[i]，顶点 Yi 的顶标为 B[j]，顶点 Xi 与 Yj 之间的边权为 w[i][j]，初始化时，A[i] 的值为与该点关联的最大边权值，B[j] 的值为0
相等子图：选择 A[i] + B[j] = w[i][j] 的边 <i, j> 构成的子图，就是相等子图
算法执行过程中，对任一条边<i, j>，A[i] + B[j] >= w[i][j] 恒成立，这个下面图示解释清楚
这里的算法介绍是用slack[j]数组优化过，slack数组存的数是Y部的点相等子图时，最小要增加的值
没有优化过的容易理解，代码量也短，去原博客先看完没有优化的会更容易理解优化过的代码
算法图示：
给个二分图，只取边权跟顶标相等的边，边权值跟顶标理解为工作效率
看到员工B，B与c以外的其他工作尝试匹配后，顶标和，即上面说的A[i] + B[j] >= w[i][j]，并且最小的差值为1，该差值存在slack数组里，当B与c尝试匹配，因为A -> c，就能找到一条增广路，B -> c -> A -> a，此时A只有找到a匹配，但是A -> a 的顶标和 = 4 也是大于边权值 3，与slack数组比较，存储最小的差值1。
因为能够进行匹配的是相等子图，即不存在此相等子图的减少量，所以遍历未匹配的Y部的slack数组，找出最小的减少量minz。我们要使总的工作效率尽可能地高，即减少地少。
若X部的点还未匹配，就将增光路中X部减去minz，即下图中A、B都减去1，Y部加上minz，再进行尝试匹配，注意，匹配成功的话，A[i] + B[j] = w[i][j]
其实下面这图不符合匈牙利算法的具体过程，由于这里只要理解结果，就拿下面这图了，这里X部+Y部的顶标值 = 对应点的边权值。正确的连接应该是（看上图），B -> c， A -> a，因为根据匈牙利算法所形成的增广路应该是 B -> c -> A -> a, 在这条增广路中只有 A -> c是匹配的，然后取反，就B -> c, A -> a
由于图到此就错了，所以就不继续贴流程图，直接上结果图，具体过程如上重复
下面是以上推荐博客的代码，跑了一遍测试，我就把maxn改了
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<vector> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 300 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; int wx[maxn], wy[maxn];//每个点的顶标值（需要根据二分图处理出来） int cx[maxn], cy[maxn];//每个点所匹配的点 int visx[maxn], visy[maxn];//每个点是否加入增广路 int cntx, cnty;//分别是X和Y的点数 int Map[maxn][maxn];//二分图边的权值 int slack[maxn];//边权和顶标最小的差值 bool dfs(int u)//进入DFS的都是X部的点 { visx[u] = 1;//标记进入增广路 for(int v = 1; v <= cnty; v++) { if(!visy[v] && Map[u][v] != INF)//如果Y部的点还没进入增广路,并且存在路径 { int t = wx[u] + wy[v] - Map[u][v]; if(t == 0)//t为0说明是相等子图 { visy[v] = 1;//加入增广路 //如果Y部的点还未进行匹配 //或者已经进行了匹配，可以从原来的匹配反向找到增广路 //那就可以进行匹配 if(cy[v] == -1 || dfs(cy[v])) { cx[u] = v; cy[v] = u;//进行匹配 return 1; } } else if(t > 0)//此处t一定是大于0，因为顶标之和一定>=边权 { slack[v] = min(slack[v], t); //slack[v]存的是Y部的点需要变成相等子图顶标值最小增加多少 } } } return false; } int KM() { memset(cx, -1, sizeof(cx)); memset(cy, -1, sizeof(cy)); memset(wx, 0, sizeof(wx));//wx的顶标为该点连接的边的最大权值 memset(wy, 0, sizeof(wy));//wy的顶标为0 for(int i = 1; i <= cntx; i++)//预处理出顶标值 { for(int j = 1; j <= cnty; j++) { if(Map[i][j] == INF)continue; wx[i] = max(wx[i], Map[i][j]); } } for(int i = 1; i <= cntx; i++)//枚举X部的点 { memset(slack, INF, sizeof(slack)); while(1) { memset(visx, 0, sizeof(visx)); memset(visy, 0, sizeof(visy)); if(dfs(i))break;//已经匹配正确 int minz = INF; for(int j = 1; j <= cnty; j++) if(!visy[j] && minz > slack[j]) //找出还没经过的点中，需要变成相等子图的最小额外增加的顶标值 minz = slack[j]; //和全局变量不同的是，全局变量在每次while循环中都需要赋值成INF，每次求出的是所有点的最小值 //而slack数组在每个while外面就初始化好，每次while循环slack数组的每个值都在用到 //在一次增广路中求出的slack值会更准确，循环次数比全局变量更少 //还未匹配，将X部的顶标减去minz，Y部的顶标加上minz for(int j = 1; j <= cntx; j++) if(visx[j])wx[j] -= minz; for(int j = 1; j <= cnty; j++) //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去minz if(visy[j])wy[j] += minz; else slack[j] -= minz; } } int ans = 0;//二分图最优匹配权值 for(int i = 1; i <= cntx; i++) if(cx[i] != -1)ans += Map[i][cx[i]]; return ans; } int n, k; int main() { while(scanf("%d", &n) != EOF) { for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &Map[i][j]); } cntx = cnty = n; printf("%d\n", KM()); } return 0; }