[偏微分方程教程习题参考解答]1.2几个经典方程

1. 有一柔软的均匀细线, 在阻尼介质中作微小横振动, 单位长度弦受的阻力 $F=-Ru_t$. 试推导其振动方程.

解答: $$\bex \rho u_{tt}=Tu_{xx}-Ru_t. \eex$$

2. 设三维热传导方程具有球对称形式 $u(x,y,z,t)=u(r,t)$ ($r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) 的解, 试证: $$\bex u_t=a^2\sex{u_{rr}+\frac{2u_r}{r}}. \eex$$

证明: 由 $$\bex u_x=u_r\frac{x}{r},\quad u_{xx}=u_{rr}\frac{x^2}{r^2} +u_r\frac{r-x\frac{x}{r}}{r^2} \eex$$ 及对称性知 $$\bex \lap u=u_{rr}+u_r\frac{3r-r}{r^2} =u_{rr}+\frac{2u_r}{r}. \eex$$

3. 若 $n$ 维 Laplace 方程 $$\bex \frac{\p^2u}{\p x_1^2}+\cdots+\frac{\p^2u}{\p x_n^2}=0 \eex$$ 具有球对称形式的解 $u(x_1,\cdots,x_n)=f(r)$, 其中 $r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$, 则 $$\bex f(r)=\sedd{\ba{ll} C_1+C_2\dfrac{1}{r^{n-2}},&n\neq 2,\\ C_1+C_2\ln \dfrac{1}{r},&n=2, \ea} \eex$$ 其中 $C_1,C_2$ 为任意常数.

证明: 同第 2 题, 易知 $$\bex \lap u=f_{rr}+(n-1)\frac{f_r}{r}=0. \eex$$ 于是 $$\bex 0=r^{n-1}f_{rr}+(n-1)r^{n-2} f_r =(r^{n-1}f_r)_r\ra C=r^{n-1} f_r\ra f_r=\frac{C}{r^{n-1}}. \eex$$ 若 $n=2$, 则 $$\bex f_r=\frac{C}{r}\ra f=C_1+C_2\ln \frac{1}{r},\quad C_2=-C. \eex$$ 若 $n=3$, 则 $$\bex f=C_1+C_2\frac{1}{r^{n-2}},\quad C_2=\frac{C}{-n+2}. \eex$$