欧几里得算法:从证明等式gcd(m, n) = gcd(n, m mod n)对每一对正整数m, n都成立说开去

写诗或者写程序的时候，我们经常要跟欧几里得算法打交道。然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的，一些偏激(好吧，请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为，除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实，否则我们不能认为程序是正确的。既然存在即合理，因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法，它为什么是正确的算法（算法过程就不给出了，有了思想，无论是迭代还是循环实现应该都不成问题），为什么有那么好的时间复杂性。

首先还是证明上述命题：注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正确性。

证明：令d = gcd(m, n)，则d|m 且d|n。设m = kn + r(0≤ r < n)，则 d|(kn+r)。又有d|n，因此d|kn，所以有d|r。即我们由d|m 且d|n 这个前提可以得出d|r。换就话说，我们也可以说成由d|m 且d|n 这个前提推出了d|n 且 d|r。使用类似的推理过程同样可以得到：由d|n 且 d|r 可以推出d|m 且 d|n。注意到这里的r 即 m mod n。因此我们可以说gcd(m, n) = gcd(n, m mod n)是双向成立的，命题得证。

关于欧几里得定理我还是想多说一点，那就是欧几里得本人给出的证明过程，他的思维清晰，逻辑严密，虽然采用的几何证法，但是不失严密和优美。下面我就简略地复述一遍我们敬爱的欧几里得先生给出的证明，原版证明见欧几里得的成名作品《几何原本》：如果m 和n 互素，那么它们的最大公约数显然是1。如果两者不互素的话：首先，想象两段线段，它们的长度分别是m 和n。姑且把他们称作线段AB 和CD。我们取其中较短的一段量取另一段，姑且认为CD 是其中较短的线段，如果CD 量尽AB，这时它也量尽它自己，那么CD 就是CD、AB的一个公度数，显然CD 同时也是最大公度数，因为没有比CD 大的数能量尽CD。但是，如果CD 量不尽AB，那么从AB，CD中的较大者中不断地减去较小者，如此，将有一个余数能量尽它前面一个。我们说这个数就是m 和n 的最大公度数，为什么呢？假设这个余数不是最大公度数，那么必有大于该数的一个数能量尽AB 和 CD，最后我们能推出大于该余数的这个数能量尽这个余数，注意到这是不可能的，因为较大的数量尽较小的数是不可能的。通过这个反证的过程，我们知道没有大于该余数的数能量尽AB，CD。因而这个数就是AB 和 CD也即m 和n 的最大公度数。

好了，证明到这里先告一段落，下面我们来考察一下欧几里得算法的效率。

令r0 = m mod n, r1 = n mod r0。于是有gcd(m, n) = gcd(n, r0) = gcd(r0, r1)。只需要注意到这一事实：r0 < m/2 或者 r1 < n/2。就可以知道在两步之内算法的规模减半了，也就是说，其时间复杂度为2logn = O(logn)。这就是其时间复杂度的上界。如果你随便写一个算法，它的时间复杂度是O(logn)，那么世界该有多么美好啊。